上兩篇和大家討論過黃金比、數學與金字塔的關係之後，今日和大家討論數學與中國建築的關係。相信大部份人都知道紫禁城是中國文化的瑰寶，但未必人人都知道它隱藏了的智慧。
建都的由來
在戰國時代，燕國成立並定都「薊城」，「薊城」便是現在的北京，所以北京亦稱為「燕都」或「燕京」。到了宋朝，遼把燕京定為四大都之一，之後金擊敗遼定都「燕京」，改名為「金中都」。 100百年後，蒙古人一統中國，決定延續金、遼的傳統，續以北京為政治中心，改名北京，為並開始建立北京城。
明初時，「元大都」改名為「北平」，明軍一方面為求防範逃到蒙古草原的元順帝的反攻，同時亦貪圖元大都的基礎設施如水利工程和漕運系統，所以決定仍以「北平」為首都，改名為「北京」。到了清代，「北京」其實原為宋代金人的「金中都」，對滿人來說建都北京都只是用回祖先的首都，而「北京」亦成為中國的首都至今。
紫禁城的原來位置
現在的紫禁城亦不是明宮，而位置亦不是最初元代皇城的位置。明成祖為了放便重建新的宮殿便把紫禁城向南移了1公里，亦為了平衡陰陽，特意加設了人工湖─南海。但是整座明宮幾乎全部被李自成焚毀，只有武英殿、建極殿、英華殿、南薰殿、四周角樓和皇極門得以保留下來。
現在的紫禁城主要是康熙至乾隆年間所建，但是都基於明宮的格局南是承天門（現稱天安門，即長安街），北是地安門（即地安大街），東是東安門（即東黃城根街），西是西安門（即黃城根街）或南海一帶。
紫禁城這名詞自明代開始使用，儘管清兵入關後，他們都繼續使用這名詞。 「紫禁城」名字來自「紫微星」，紫微星屬土，在五方屬中，古人相信紫微星位於蒼穹的中心。紫禁城位於北京的中心，同時又是國家權力的中心，因而得名。
北京的中軸線
雖然紫禁城經過多番重建，但其中軸線設計自元朝以來都沒有修改。紫禁城的中軸線，承天門景山神武門乾清宮三大殿午門端門天安門。這條中軸線除了是紫禁城的中軸線之外，亦是北京的中軸線，京奧都是根據這條中軸線來規劃。
紫禁城的中軸線是根據子午線的方位，但「子午線」並不是對正「經線」南北垂直的方位，主要是因為在乾隆以前皇上都是住在中軸線上的乾清宮，皇后則在坤寧宮，其他妃嬪便是住在左右兩邊東六宮和西六宮。因為擔心萬一帝皇的命格不夠硬，便可能受不起正南北的方位，所以中軸線移過了一點並且在軸線上安排景山公園，好讓皇上背有靠山。
在中軸線上最重要的建築物便是三大殿：太和殿、中和殿、保和殿。太和殿是進行典禮的地方，例如登基、大婚、命將出征、元旦、冬至、萬歲（大壽）等重要日子，全朝文武百官朝賀的地方。中和殿是皇上大朝前休息的地方，保和殿是科舉殿試進行的地方。
「午門」的意義
「午門」是禁宮之內的最後一道城門，之後便是紫禁城最核心地帶。午門是有三座大門，中央的大門當然只容許皇上經過，但亦有兩個例外，第一是皇后大婚才可通過中央大門一次，第二是中舉的狀元、榜眼、探花都可經過這大門一次，所以一生人只有一次機會經過這中央大門。
因此「午門斬首」並非事實，不過午門曾用作刑場，在明代午門是用來施行「廷杖」（即重打屁股）的地方，因有大臣當場被打死，所以才有「午門抄斬」的誤解。真正的斬首之地應該是在宣武門外的菜市口，而宣武門上是刻著「後悔遲」三字，意思是後悔得太遲了。
隱藏了的建築比例
故宮建築是根據特定的比例來構造，清代的建築指標是《工程做法則例》，以午門為例：
午門主建築的外圍柱高20尺，內庭深度是60尺，闊度是240尺。午門左右兩邊的小建築外圍柱高20尺，而長度是60尺。而午門的圍牆是高40尺，但整個午門的深度是360尺，而闊度是400尺。
天安門都有同樣的情況，天安門外圍柱的高度是20尺，內圍的柱高是40尺，內圍深度是60尺，而天安門的城牆高度都是40尺。外圍柱的間距都是20尺，只是天安門的正中是有少許不同，因為這是進入皇宮的正門，所以柱的間距是27尺。
不過，最特別是太和殿，雖然它是全紫禁城內最重要的建築物，但它的並不是依照特定的比例來建造。因為太和殿的外圍柱高都是20尺，內圍的柱高是40尺，但外圍柱間距只是17.5尺，相信是維修時把有關部分變少。但是太和殿內圍深度仍保留是80米，而闊度是160米。整體比例而言都是柱高：深度：闊度 = 1:2:4。
這些比例的好處，是希望確保建築物結構部件的大小能附合安全標準，而且可以讓工作人員根據建築物的大小來尋找合適的木材，省卻不少時間。
(部分尺寸有小數點，但為求簡單表達比例關係，所以在文中省略了小數點。）
對讀書人的特別意義
除了是政治上的特殊意義外，紫禁城一直是古時讀書人夢想一到之地，因為科舉的殿試是在三大殿之一的保和殿內進考，而殿試的題目由皇上親自出題和挑選頭十名的進士，所以進士都稱為「天子門生」。殿試頭三名 狀元、榜眼、探花是會用金漆把及第人的名字寫在一甲榜上，身份地位自然是超然，而「金榜提名」就是這意思。
若要成為「天子門生」就必須要過五關斬六將，正式參加科舉之前便需要先參加童子試，
童子試公分為縣試、府試及院試三個階段，童試合格便成為生員，俗稱「秀才」，成為秀才/監生之後便可參加科舉的考試。
第一級是鄉試，合格後便成為「舉人」，鄉試第一名便稱「解元」。
第二級是會試，合格後便成為「貢士」，會試第一名便稱「會元」。
第三級是殿試，合格後便成為「進士」，殿試第一名便稱「狀元」。
因此讀書人最高的成就，就是「連中三元」，先中「解元」，再中「會元」，最後再中「狀元」，又稱「三元及第」。中國1300年科舉以內，都只是得13人是連中三元，明清兩代數百年內只有4人，連中三元的武狀元應只得3人。
能夠一到保和殿參加殿試的人都已經不簡單，而且殿試合格後亦就不再能參加科舉，進士便成為他們終極的功名，所以能中狀元的人是萬中無一的奇材，因此故宮對讀書人來說是有極度特別的意義。
由此可見，紫禁城不只是一座宮殿、一座博物館，而是代表了中國歷史、建築哲學和學術文化的瑰寶。