數學與金字塔




今會不如為大家介紹一下埃及的金字塔, 現今尚存約80座金字塔,最大的一座是胡夫金字塔(Khufu),單邊長度756英尺(230米) ,佔地面積13英畝(52,900平方米) ,足可放入整個香港九龍站Element商場/英國O2 體育館。

金字塔是法老皇的墳墓,但為何法老皇要這麼大的墳墓,因為古埃及人相信法老皇死後會變成太陽神,為了要讓法老皇死後仍能好好生活,就需要大規模地供應其所需,而屍體亦需保存下來。不過,如果建造這一座超巨型的墳墓的話,便需要230萬塊磚,每一塊磚重2.5噸(2500kg) ,整個金字塔重650萬噸和數萬的工人花約27年時間才能建成。


驚人的精確度


金字塔最驚人的不是它的規劃,而是其建築的精確度,它的底部四邊長度誤差只是8寸,誤差率是1:1134。底部的四個90度角的誤差只是3.5分,誤差率是1:1500,底部四邊至頂點的角度只是5.5分,誤差率是1:4000,它四邊底部的水平誤差只是0.5寸, 誤差率是1:18000,誤差率驚人的低。

我敢說在香港沒有一座建築有如此精確度,在3000年前,沒有電腦,水平測量儀,紅外線測量器,連圓規都沒有的年代,如何純用人手便建出如此精確的金字塔? 又如何在沙漠上抓到一塊平地?

首先,古埃及人未必如古希臘人知道π 的數值,但一定知道知道圓周與直徑的關系,所以古埃及人先製造一個滾輪來量度磚的長、闊、高,而磚的長、闊、高是以滾輪轉動次數的正倍數,亦即是滾輪圓周的正倍數,這樣便可以有同等大小的磚.

所以,若每邊的磚數目相等的話,底部的四長度便會相等。

如圖示,當AB的磚數目等如BC、而BC等如CD、CD等如DA的話,這便是正方形。然後,在AB與BC之間放同樣的磚數目,便可確保AB與CD是平衡,同樣方法用在BC與DA之間。

第二步,在AB與BC之間的距離平均分成數份,再挖水道,並放同樣公升的水,再測試其水平並再作修正,便可確保四邊底部的水平是相等。所有,用水的測量工程一定要在清晨和黃昏的時份,否則水份會在午間時被蒸發,亦避免晚上出現結冰的情況,否則測量的結果有很大的誤差,也不用浪費大量食水,因為在沙漠中水比黃金還要珍貴。

之後,由於已知道AB之間的磚數目,便能找出AB之間的一半距離,再從這一點,劃一條90度垂直的線至CD,重複在其餘三邊進行,便可從這些線的交匯點,便可找能O點,再劃一條線連接AC和BD,便可反複測試O點的精確性。

由於,磚的高度是滾輪轉動次數的正倍數,因此古埃及人便假設

金字塔的高度是(滾輪直徑 x 滾輪轉動的次數) 的3倍或是4倍。

如圖示:


滾輪圓周 = π x滾輪直徑 = π x D (D代表滾輪直徑)

金字塔的底部一半邊長 = 滾輪圓周 x 滾輪轉動次數 = π x D x n

(n代表滾輪轉動次數)

金字塔的高度 =滾輪直徑 x 滾輪轉動的次數 x 3或是4 = 3nD或是4nD.

所以, Tan α = 4nD / π n D

Tan α = 4/ π

α = 51.85度

或是

Tan α = 3nD / π n D

Tan α = 3/ π

α = 43.68度


從這樣的方法,由於知道滾輪圓周與磚的長、闊、高度的關系,古埃及人便可以不用量角器和不知道π的數值也可以精確造出金字塔的底邊與高度。


開採石材

金字塔的石材有三種: 內部是淡紅色的石灰石,中間框架的石材是比較準確的石灰石,表面是吐白拉的白灰岩,全是由尼羅河開採再用船運至工地。在採石場,工人用銅製的工具或是用岩石球的工具來切割石材,切割的方法是先擊出裂縫,並在裂縫中插入木榫,澆灌膨脹木榫使石材分開,但白灰岩太硬不能用這方法開採,便要用火燒插入後的木榫並馬上澆冷水,用熱脹冷縮的原理使石材分開。大如法老皇的寢室頂石也是用這方法來開採, 寢室頂石是30英尺 x 17英尺 x 19英尺, 重400噸(400,000kg)白灰岩。

金字塔的石磚不是水平方式一層一層建上,金字塔的內核心是以75度向內傾,愈向外的石磚的斜度愈小,這樣便可以使金字塔自其穩固,所以金字塔在沒有柱和樑的情況下,都能在沙漠中經歷3000年,石磚與石磚之間的距離連卡片也放不進,其精確度簡直不可思議,而石磚與石磚之間的斜度如何控制,不同斜度的石磚如何只用人手切割,至現在也是一個謎。

不過無論如何,金字塔就絕對是人類歷史上最偉大的建築工程之一。

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